El álgebra lineal es un tema amplio de matemáticas con aplicaciones en diversas situaciones del mundo real, sobre todo en el aprendizaje automático. Las matrices y los vectores son los componentes básicos del álgebra lineal y se utilizan en una amplia variedad de procedimientos y herramientas. El espacio de columnas de una matriz se analiza en este artículo. También revisaremos la terminología necesaria para comprender el espacio de columnas de la matriz.
¿Qué es el lapso de un vector?
Span simplemente significa que dado un conjunto de vectores, si se aplica una combinación lineal a ese conjunto de vectores y permanece dentro de ese espacio vectorial, se extiende por ese espacio vectorial. Es decir, cuando multiplicas un escalar por un vector dado, permanece dentro de esa dimensión, ya sea que estés trabajando con la primera, segunda, tercera o enésima dimensión. Se dice que «se extiende» por todas partes dentro de esta dimensión. Multiplicar un conjunto de vectores por un escalar simplemente indica que el conjunto de vectores con los que está trabajando cubre (o puede colocarse en cualquier lugar) la dimensión completa (o espacio vectorial) con el que está trabajando.
¿Qué es la combinación lineal?
Suponga que tiene un conjunto de objetos matemáticos {x1….Xnorte} que admitan multiplicaciones y sumas escalares (por ejemplo, miembros de un anillo o un espacio vectorial), entonces y = a1X1+a2X2+… unnorteXnorte (donde ai son algunos valores escalares). La ilustración más popular es el uso de vectores 3D en el espacio euclidiano. Un vector que está en el mismo plano a través del origen que los dos vectores originales colocados en el origen es una combinación lineal de cualquiera de esos dos vectores.
¿Qué son los espacios de fila y columna?
Suponga que A es una matriz mxn sobre el campo F. Entonces hay vectores de n componentes en las filas, y hay m de ellos. De manera similar, cada vector de componente m está representado por n columnas. El subespacio de Fnorte formado por los vectores fila es el espacio fila de A, y sus elementos son combinaciones lineales de los vectores fila. Este espacio tiene una dimensión, y las columnas imponen tales relaciones entre las filas y viceversa. Asimismo, el espacio columna de la matriz es el subespacio de Fmetro formada por los vectores columna de la matriz. Aunque este espacio difiere del espacio de fila en general, tiene las mismas dimensiones que el espacio de fila, ya que cualquier relación lineal entre columnas también impone tales relaciones entre filas, y viceversa.
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Span es el concepto más básico. En pocas palabras, el lapso de las columnas de un vector dado es lo que llamamos espacio de columna. Puede tomar todas las combinaciones lineales posibles de vectores si tiene una colección de ellos. El espacio vectorial resultante se conoce como la extensión de la colección original. El espacio columna es una colección de un conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de los vectores columna de la matriz. En otras palabras, si un vector b en Rmetro se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de A, está en el espacio columna de A. Es decir, b ∈ CS(A) si y solo si hay escalares x1X2…, Xnorte así que eso
Cualquier combinación lineal de los vectores columna de una matriz A se puede escribir como el producto de A con un vector columna:
El espacio columna de la matriz A consta de todos los posibles productos A*x, para x ∈ Cnorte. El resultado de arriba es también la imagen de la transformación matricial correspondiente.
Usualmente denotamos los espacios de fila y columna de la matriz (digamos A) por C(AT) y C(A), respectivamente.
Conclusión
Este artículo cubrió varios temas relacionados con el espacio de columna de la matriz. El lapso de un vector es el espacio que permanece sin cambios después de que se aplica una combinación lineal a la colección de vectores. Después de multiplicar un conjunto de vectores y escalares, la suma se llama combinación lineal. El conjunto de todas las combinaciones lineales concebibles de los vectores columna de una matriz es el espacio columna de la matriz.
